Таким названием монастырь был обязан святому Алексию, митрополиту Московскому (1300-1378), который правил Русской церковью с 1354 года, во времена княжества Ивана Ивановича и Дмитрия Донского. Деятельность свою митрополит Алексий и его известный соратник, преподобный Сергий Радонежский, посвятили духовному наставничеству великих князей московских, для пособничества в консолидации Руси и ее освобождению от ига.